不定积分公式总结

 时间:2017-05-20  贡献者:雨林沐风sky

导读:不定积分公式,2(这是有理函数分解后一种形式的积分的求法,大家可以回顾课本恢复记忆)三、普遍方法(一)换元积分法:第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力,即观察出某个

不定积分公式
不定积分公式

不定积分公式总结

2(这是有理函数分解后一种形式的积分的求法,大家可以回顾课本恢复记忆)三、普遍方法(一)换元积分法:第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力,即观察出某个函数的导数,这就要求我们熟悉常见函数的导数。

首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子例 1: ∫xdx√5 + x − x2注意到分母根号下为二次,其导数为一次,而分子正好就是一次,通过凑微分和配方可以得到解决。

∫xdx=∫−1 2(−2x+1)+1 2dx√5 + x − x2√5 + x − x21 d(5 + x − x2) 11= − 2 ∫ √5 + x − x2 + 2 ∫ √5 + x − x2 dx=−√5+x−x2+1 2∫dx √(√221)2 −(x−12)2=−√5+x−x2+1 22x − 1arcsin()√21+C例2:∫x4x3 + x2+1dx与例 1 类似,我们有:∫x4x3 + x2+1dx=∫1 4(4x3 + 2x) − x4 + x2 + 11 2xdx=1 4∫d(x4 + x2 + 1) x4 + x2 + 1−1 4∫(x2d +(x2 12)2+ +12)2(√23)后面套公式就好啦例3:∫1dx + sin2xdx1dxd(tan x)∫ cos2x + 2sin2x = ∫ cos2x 1 + 2tan2x = ∫ 1 + 2tan2x

不定积分公式总结

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4令一种解法:∫ cos4t dt = ∫ cos2t(1 − sin2t) dt = ∫ cos2t dt − ∫ cos2t sin2tdt利用倍角公式可以解出。

(2)倒代换,经常用在分母多项式次数较高的情况下例:∫√a2 − x4x2dx,令x=1 t,容易求出原函数(二)分部积分法∫ μdν = μν − ∫ νdμ应用分部积分法时,需要把被积函数看作两个因式 μ 及 dν 之积,如何选取这两者是很关键的,选取不当,将使积分愈化愈繁. 积分时应注意dν 比较好积,同时 μ 的选取应使其倒数比 μ 简单,两者应兼顾。

例:∫xearctan x3(1 + x2)2dx=earctanx√1x +x2−∫earctan x3(1 + x2)2dx=earctan x√1x +x2−[earctan x√11 +x2−∫−xearctan x3(1 + x2)2dx]=earctan xx−1 √1 + x2−∫xearctan x3(1 + x2)2dx则:∫xearctan x3(1 + x2)2dx=x−1 2√1 + x2earctan x+C这个函数就有多种拆分方法,需要我们多尝试几次才能解出,并且用到了 轮换,应注意。

其实 ∫ sin(ln x) dx 也用到了轮换,详情请查阅教材 165 页。

一般情况下,被积函数形如eax sin bx ,eax cos bx, Pm(x)eax,Pm(x) sin bx ,Pm(x) cos bx ,Pm(x)(ln x)n,Pm(x) arctan x , ⋯ 就可以尝试分部积分法轻松 求得原函数,其中Pm(x)表示 m 次多项式。

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